最小的偶数
关于“最小的偶数”的讨论
江苏省盐城市迎宾路小学 卞恩鸿
小学名师网（http://www.xxms.net）“名师论坛”栏目上发了网友Sdbxlgq的帖子：“最小的偶数是几？恳请有关专家、教师指正！新课改后，在约数、倍数一章，原来只讨论自然数。随着自然数中0的加入，最小的偶数是否发生了变化呢？我认为由原来的2，变成0。不知道是否正确，恳请指正！谢谢各位。”
此帖引起广大网友包括笔者本人的注意，也引起笔者加入探讨队伍的兴趣，激起写作的欲望，最终写成此文与各位商榷。敬请各位同行批评指正！
观点一：最小的偶数是2
持“最小的偶数是2”观点的人，大多数是上世纪八十年代任教数学的老教师，或者是在那段时期上小学的年轻教师。那时，小学数学教科书里，0还不是自然数，没有学习负数，在教科书里“2是最小的偶数”。
持“最小的偶数是2”观点的人，还有就是认为“0不是偶数”。比如，Admin（管理员）说：“我认为0不能算偶数，因为什么叫偶数？能被2整除的数叫做偶数，而在整除的概念中把0是排除在外的，都是指非零自然数。”
持“最小的偶数是2”观点的人，最具代表性的是网友zjdyf。他说：“一次考试阅卷，五年级的试卷中有这样一道题：最小的偶数是几？绝大部分的老师都认为是2，但有一位老师却认为是0。一石激起千层浪，引发了一场激烈的争论。最小的偶数到底是几呢？绝大多数的老师都认为最小的偶数应该是2，而不应该是0。到底最小的偶数是0还是2 呢？虽然教科书明确指出0是偶数，但从未明确指明最小的偶数就是0。笔者认为：0是一个特殊的数，所以教材明确指出在研究约数和倍数时，不包括0。当然偶数是约数和倍数的扩展分枝，也应该不包括0。所以让我感觉教材是前后矛盾的，前面说在研究数的整除时，不包括0；但到了偶数概念时，又明确指出0也是偶数。如果0是最小的偶数，那么许多题目将变得毫无意义。如：教材80页练习十六第4题的（1）“既能被6整除，又能被9整除的数，最小的是多少？绝大多数都认为是6和9的最小公倍数，结果是“18”。但另有一种观点认为：此题是求能被6和9整除的最小的数，因为0既能被6整除，又能被9整除，所以结果应该是0。此题如是考察0则意义不大。但如0是最小的偶数，那么既能被6整除，又能被9整除的数，最小的是0，就很正常了。0是最小的偶数，那么到初中的负数的出现后，0还是最小的偶数吗？当负数出现后，最小的偶数是并不存在的，就像最大的自然数也并找不到。笔者有一种认识，教材规定了0是偶数，这一性质也是值得商榷的。因为0也能被2 整除，所以0也是偶数。那么0也能被任何自然数整除，0又是一个什么数呢？我们知道：一种特性，必定是区别于其他事物的；一种特性，在同类事物中也肯定有共同的外在或内在的表现；事物的本质属性必定是与其他类事物的本质属性是相互排斥的，如果不相互排斥，那么还不混为同一类去。就像最近中央领导说的：“哪里有黑势力，那里就肯定不够红，红黑是不能共容的。”如果说0是偶数，那么0与其他偶数是有较大的区别的，用上面三点去分析，也觉得0是偶数规定的太过牵强。所以笔者认为，在小学数学中，把0 规定为偶数，是不恰当的，应该把0在整除中的特殊地位明确规定，以避免一些不必要的争论。”
新课改教科书中，“0是自然数”。国际上一直这样规定的，据说这也是与国际接轨。
整除的定义是：两个整数a、b，如果存在一个整数q，使得a＝bq，就称a被b整除，或b整除a，并记作b｜a。如果不存在这样的整数，就说b不能整除a。
“0是偶数”。——《学生辞海》（小学卷），南京大学出版社，1992年12月，P186。
观点二：最小的偶数是0
网友超级版主农工引清说：“整数a除以整数b（b不等于0），除得的商正好是整数而没有余数（也就是余数是0），我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）.(人教版修订版教材，小学数学教材第50页)。0＝2×0 ，所以0能被2整除。能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。并且九年义务教育六年制小学教科书《数学》第十册53页上明确指出：【注意】因为0也能被2整除，所以0也是偶数。综合上述，0就是偶数。”
在搞清“0是偶数”时，不少老师根据“0是最小的自然数”推断出“0是最小的偶数”。
最具有代表性意见的是与网友zjdyf讨论的同事，其中一位老师坚持认为：最小偶数应是0。她谈的意见如下：只要含有约数2 的数，它就是偶数；只要是2 的倍数，它就是偶数。因为0÷2=0，所以2 是0的约数，0是2 的倍数。教材规定：能被2整除的数叫做偶数，所以最小的偶数应是0。并特别指出九年义务教育六年制小学教科书《数学》第十册53页上明确指出：【注意】因为0也能被2整除，所以0也是偶数。所以，最小的偶数应该是0。大部分老师见了教材都无言以对，但心中却总有些不同意。有些老师也提出，教科书49页最后一段也明确注明：【注意】为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般指自然数，不包括0。
网友weifen跟帖说：“我认为0是最小的偶数。”
网友超级版主农工引清说：我们讨论问题一般是在某些前提下进行的。一般地，在数学里，讨论数的奇偶性问题是在整数范围内进行的，整数包括正整数、0和负整数，这样一来还有很多偶数是负数。所以说最小的偶数是几就得看在哪个范围内来讨论的。如果在非0的自然数集内讨论，那么最小的偶数就是2。如果在自然数集内讨论，那么最小的偶数就是0。如果在整数数集里讨论，那么就没有最小的偶数了。
观点三：没有最小的偶数
笔者同意网友超级版主农工引清说的“如果在整数数集里讨论，那么就没有最小的偶数了”这个说法。
网友超级版主农工引清说：“讨论数的整除，谈到约数和倍数，是在整数集里进行的。这样一来正整数、0和负整数也就被列入讨论之中了。但是我们小学在这之后就要学习质数与合数，而质数与合数是在非0自然数集中讨论的，为了方便学生学习质数与合数以及学习求两个数的最小公倍数最大公约数，加上小学生知识水平和认知能力的限制，只得减缓学习坡度。因些，教材中补充了这样的规定：【注意】为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0。
这样一来，就为我们界定了：小学阶段学习整除，就是在非0自然数集中进行的。
下面，我们就来解决网友zjdyf谈到的那个他认为是矛盾的问题了。
请网友zjdyf记住“既能被6整除，又能被9整除的数，最小的是多少？”讨论解决这个问题是在教材中所说的“非0自然数集”这样一个前提下进行的，因此，既能被6整 除又能被9整除的数，最小的是他们的最小公倍数18。如果在自然数集内讨论，那这个最小数就是0了，如果在整数集内讨论，既能被6整 除又能被9整除的数就还有负数了，找不到最小的数了。
综上所述，我的观点就是：最小的偶数是几？得要看是在哪个范围内进行讨论的。今后可能还会遇到类似的许多问题，我们要把握好小学数学教材知识与问题的呈现背景与条件就好说了。”
网友jyxdxxxx跟帖说：“我觉得我们小学里面，只要搞清楚研究偶数的范围是在‘非0的自然数’范围内呢，还是在自然数内，这是关键。同样，楼上网友超级版主农工引清的观点，分析的也很深刻。”
网友yhjht跟帖说：“偶数是没有穷尽的，所以没有最大也没有最小。在小学阶段研究整除的时候是不考虑0的，所以在小学阶段0不是最小的偶数。”
笔者跟帖说：“同意网友yhjht的前一个观点，但是不同意后者。在小学阶段0不是最小的偶数，是因为小学阶段学习负数了，学习的数的范围扩大了。”
笔者接着其他网友发言跟帖说：“新课程标准实验教材，小学里就有‘负数’。在小学还有讨论最小的偶数的必要吗？即使有必要讨论，也仅仅是讨论。如果考，那是不明智的。
笔者认为：以前的小学，教科书规定“0不是自然数”，不学习负数，在正整数范围研究。现在的小学学习负数了，再考学生“最小的偶数”，没有价值，是错的。实际上，没有最小的偶数。
以上说法妥否？敬请指教！
（《中小学数学?小学版》2009/09）
作者简介：卞恩鸿（1973- ），男，汉族，江苏射阳人，高级教师，本科毕业，盐城市小学数学学科带头人，盐城市模范校长，中国教育学会会员，江苏省教育学会情境教育专业委员会理事，盐城市作家协会会员，现任盐城市登瀛小学党支部书记。发表教育教学论文70多篇，出版个人专著《追求理想教育研究》和编著《小学数学的有效教学》，主持4个市级、3个省级课题并结题。研究方向：基础教育管理、小学数学教育。
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