伯努利方程式
许晓飞个人主页
欢迎有志者加入我们
长按二维码关注我们
— Start —
撰稿人：彭奕凡 张国梁 蓝辰 肖晗
摘要：伯努利方程是流体力学的基本方程，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系，广义的伯努利方程引入损失能量和输入能量拓宽了方程的应用范围。本文分别推导了沿流线、总流和广义的伯努利方程，并阐述其物理意义。同时本文运用伯努利方程对飞机的升力、旋转球等生活中的现象进行定性解释，并且详细介绍了该方程在工程上的应用。
关键词：伯努利方程；应用：皮托管；通风工程
一、问题引出
当我们望向天空时，会看到重达几十吨的飞机快速划过空中；当我们看足球比赛时，会惊叹足球中著名的“香蕉球”绕过人墙直奔球门；当我们按下喷雾器的开关时，会疑惑液体如何立刻变成雾状散布空中；当我们仔细观察水流较急的河流时，会发现河流中的泥沙会不断上浮….其实生活中还有许多神奇的现象和装置背后都有相同的原理——伯努利定理。
二、伯努利方程推导
1流线的伯努利方程
任取一条流线， 截面的速度为，高度，压强为；截面的速度为，高度, 压强为。
截面的机械能为势能加上动能
流体是不可压缩的：
把（2）代入（1），得
同理，
时间内，整段流体机械能的增量
假设流体为理想流体，即圆柱侧表面没有摩擦力。只有重力场的情况下，质量力只有重力。因为理想流体没有粘性，不会有切应力，外部的流体对这段流体的压力垂直两处端面力。
截面移动到截面做的功
同理，处液体做的功
根据功能原理，外力所做的功等于机械能增量
即
假设流动为定常流动，有
再对（3）化简即得单位体积的伯努利方程：
也可表示为：
运用流线的伯努利方程需要注意其适用范围：
(1)流体为理想流体
(2)流动为定常流动
(3)流体是不可压缩的
(4)只有重力场，质量力只有重力
(5)沿一条流线
2
总流的伯努利方程
任意选取一个有限流管，在该流管中选取一条微小流束。1点速度为 ，高度，压强为；2截面的速度为，高度，压强为。
单位时间内流入微小流束的重量为
进、出口流束质量守恒，得
对微小流束应用流线的伯努利方程
左式与单位时间内流入微小流束的重量相乘，右式与单位时间内流出微小流束的重量相乘
积分
将积分项拆分为两部分分开讨论
其中，动能项化简
因为实际速度和平均速度存在差异，需要引入修正系数(动能修正系数)，得
势能项
将过流断面取在渐变流断面上，此时动能项在此面上投影为0，由静力学关系式，得
再对势能项积分
把整理出来的动能项（5）和势能项（6）代入总流伯努利方程（4）中，得
定常流动下，根据流动的连续性，有
动能修正系数当流动为层流时通常为2，湍流为1，应用总流伯努利方程时，通常取为1。所以单位重量的伯努利方程为：
其中，下标1,2代表两个渐变流断面。分别为断面上的平均速度。
运用总流伯努利方程同样需要注意其适用条件：
（1）理想不可压缩流体
（2）定常流动
（3）质量力有势且只有重力
（4）两过流断面间无能量输入输出
（5）两过流断面必须是缓变流过流断面
3
广义伯努利方程
上述推导的伯努利方程均为理想流体的流动，其中不存在机械能损失，只涉及流体动能、压能间的相互转换。但化工生产中很多流体都是实际流体，其流动过程中一部分机械能因内摩擦力而转化为内能，使得流体流动过程机械能不守恒。为保证流体的稳定连续流动，通常需要向流体补充相应的机械能，同时考虑到能量损失，单位质量流体广义伯努利方程为：
三、物理意义
1伯努利方程物理意义
伯努利方程的物理意义是当满足伯努利方程的使用条件时，系统机械能守恒。广义伯努利方程的物理意义是流体流动过程中，能量守恒。工程上经常运用下式单位重量的广义伯努利方程进行计算：
为速度水头，表示单位重量流体的动能；
为压头损失，表示流动过程中能量的损失；
为压力水头，表示单位重量流体相对于大气压的压能；
Z为位置水头，表示单位重量流体相对于某基准面的位置势能；
为输送设备提供的有效水头，表示外部设备给流体系统输入有效能量。
2
常见现象定性解释
飞机能在天上飞行主要是因为机翼的特殊设计。飞机机翼一般都是上表面弯曲，下表面平坦，在飞机飞行过程中，机翼将迎面的风切割成了上下两部分，在相同的时间里流过机翼上下表面空气流走过相同位移但经过不同的路程，也就造成了机翼上表面空气流过的路程长、流速快，而下表面空气流过的路程短、流速慢，根据伯努利原理，流速大的地方静压小，流速小的地方静压大，这就使得机翼上下表面产生向上的压力差，所以飞机可以克服重力飞行。
球类比赛中的“旋转球”具有很大的威力。旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球的周围空气流动情况不同造成的。不转球水平向左运动时周同空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。旋转球的转动轴通过球心且平行于地面，球逆时针旋转。球旋转时会带动周同得空气跟着它一起旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方的流速减小，球下方的流速大，压强小，上方的流速小，压强大。跟不转球相比，旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
喷雾器是利用流速大、压强小的原理制成的。让空气从小孔迅速流出，小孔附近的压强小，容器里液面上的空气压强大，液体就沿小孔下边的细管升上来。从细管的上口流出后，空气流的冲击，被喷成雾状。
泥沙运动时，由于水流流动，泥沙颗粒顶部和底部的流速不同，前者为水流的运动速度，后者则为颗粒间渗透水的流动速度，后者比前者的速度要小得多，根据伯努利定律，顶部流速高，压力小，底部流速低，压力高。这样，造成的压差产生了上浮力。
四、工程应用
1确定管路中流体的流动方向
由伯努利方程可知，管路中流体的总机械能为流体的位能、动能和静压能之和。流体在管路中流动时，因存在阻力，其流动方向总是沿着机械能降低的方向。因此，通过计算两截面上的总机械能，可以判断流体流动方向。在通风工程中，经常利用伯努利方程来判断巷道贯通后风流方向点：1为从左开始贯通的巷道,机械能为；点2为从右开始贯通的巷道，2点的机械能为 。若，则风流由1点流向2点；若 ，则风流由2点流向1点；若，则 1-2 点无风流流动。
2
确定管道中流体的流速
通过伯努利方程可以确定管道中流体的流速，常见的测速管——皮托管正是利用流体沿流线流动过程中机械能转化原理设计的。
皮托测速管又称皮托—静压管，是法国人皮托发明的。皮托管由粗细两根同轴的圆管组成，细管（直径约1.5㎜）前段开孔（O点），粗管（直径约6㎜）在距离前端适当长距离处的侧壁上开数个小孔（B点），在孔后足够长的地方两管弯90度，成柄状。测速时管轴线沿着来流方向放置。
A→O→B是一条流线，且假设为理想流体的不可压缩定常流动。
在A点和O点列伯努利方程：
端点O为驻点,
且有
将（2）和（3）代入式（1）：
因为皮托管较细，流线上A,B两点的位置差可以忽略，A,B两点列伯努利方程：
在皮托管的实际应用中，，故上式可以化简为：
已知U形管左侧压强为，右侧压强为；设U形管中标识液密度为，由（4）和（5）可得：
考虑U形管在读数时存在误差和实际粘性流体带来的能量损失，引入修正系数k（皮托管系数）对上式进行修正：
可测出流速为：
此外，在工程上伯努利定律还有以下五种常见应用：
① 计算管路中各点的压力P和压力差，即通过在管路中任意两截面间列伯努利方程来确定两截面间的压力差。
② 确定输送机械的有效功率及轴功率。
③ 确定为达某种流体输送目的，设备间的相对位置Z。
④确定阻力损失方程中为两截面间的总阻力损失，包括直管阻力和局部阻力。通过伯努利方程，可以确定管路中某段管路的阻力损失。
⑤确定流体流动过程中的流量。伯努利方程中的v为流体在管中的平均流速，结合连续性方程 ，即可确定管道中流体流量。
参考文献
[1]韩占忠，王国玉.工程流体力学基础.北京理工大学出版社，2012
[2]景思睿，张鸣远. 流体力学. 西安交通大学出版社，2001
[3]丁祖荣编著. 流体力学. 高等教育出版社, 2013
[4]吴明眼.伯努利方程原理及其应用[J].信息记录材料,2018,19(09):115-117.
[5]刘建喜,刘方远,梁伟.伯努利方程在矿井通风中的应用[J].科技视界,2015(06):200+232.
[6] Pijush K. Kundu, Ira M. Cohen .Fluid Mechanics,2011
[7] Janna, William S. Introduction to Fluid Mechanics,2010
[8] PhiliP J. Pritchard. Fox. and. McDonald’s. Introduction to Fluid Mechanics, 2011
— End —
流体力学Learning
投稿、授权、合作请联系
duthinker@aliyun.com
长按二维码关注
编辑：张笑
